Sobre la no existencia de una σ-álgebra infinita numerable Report as inadecuate




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En el libro «Real and Complex Analysis» de Walter Rudin 1, el autor plantea a titulo de ejercicio la siguiente pregunta: ¿Existe una σ-algebra infinita numerable? La presente nota responde esta pregunta negativamente.

Tipo de documento: Artículo - Article





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Boletin de Matematicas Volumen III (1969), p~gs. 115-116 SOBRE LA NO.
EXISTENCIA DE UNA o-ALGEBRA INFINITA NUMERABLE por , , Hernando PEREZ y Carlos RODRIGUEZ En el libro «Real and Complex Analysis» de Walter Rudin [lJ, el au- tor plantea a titulo de ejercicio la siguiente pregunta:d Existe una ~-algebra in~inita numerable? La presente nota responde esta pregunta negati- varnente. 1.
Recordaremos la definicion de ~-algebra.
Dado un conjunto familia ~ X de subconjuntos de se llama ~-algebra X, una si satisface las siguientes propiedades: A) X Em B) Si A, B Em, C) Si (A) n nEN I-T A E ns. , n es una ¢ (~nAj si k A-B E ore. es una sUC~. i6n de elementos de ~ nt . U 2.
Si ~ entonces (Observese que t ambi en ilT A E nEil-n 3TC .) ~-algebra que contiene una familia d~syunta I j), 11(, entonces es infini ta no numerable. se puede demostrar considerando la aplicacion 1ft UkEJ h: (f)(N) ~ J h n entonces -~ h (An)nEN Esto definida por A k es una aplicacion inyectiva. 3. Supongarnos que nt es una ~-algebra numerable.
Vamos a mostrar que es entonces finita. i) Para A de rrc. x elemento de tales que r:jx X, sea la coleccion de los elementos El conjunto x E A. [x] = nAE~ pertenece A x amy es entonces el menor elemento de ii) Si (xl c A, A es un elemento de TIt m que tal que An contiene a Lx: 1 I ¢, pues de 10 contrario, uno de los conjuntos que pertenecen am, trictamente iii) SiX sea~ xl E X. en contendria x, x, entonces An(x], A-(AI1[x]), perc ambos est an contenidos es- [x]. =¢, Llamando entonces m == { Al - [xll -115- ¢ }. X Supongamos pues puede ser que Al == X 5 I ¢ y Y entonces SL Al I x elegimos X E X - A • Llamando A = [x ] se 2 l 2 2 ¢ ; en el caso que A UA = X, entonces rrt= I-¢,x,A ,A 1 2 l 2 nt- {x, ¢ }. tiene A nA l 2 1. = iV) Continuando el razonamiento anterior, supongamOB que existen Xl .
o ,xn 0 [xk 1, k = elementos...






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