Une caracterisation des anneaux fortemen réguliers Report as inadecuate




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On montre que la classe des anneaux fortement réguliers introduits et étudies par Arens-Kaplansky 1 coincide avec celle des anneaux dont le demi-groupe multiplicatif est inverse, donc coincide avec celle des anneaux réguliers dont lensemble de leurs idempotents est commutatif. 1. Soit A un anneau. Si A possede un unique élément unité à droite e, alors e est aussi une unite à gaucne. En effet, soit UdA lensemble des elements unites à droite de A. Pour chaque e pertenece Ud  A, soit Pe  lapplica tion de  A  dans  A  telle que Pe x = ex - x e. On a     a Pe A inclusión Ud A. En effet, pour tout y  pertenece A on a   y Pe x = y,   b la restriction de Pe a Ud A  est injestive. En effet, soient  e, e- pertenece Ud A, alors Pe e = Pe ee- entraíne ee - e e = ee- – ee- e, mais ee e = ee- donc  e = ee-.  Suppasons Ud A = e. Daprés  a  pour tout  x pertenece A on a Pe x = e,  c est-à.-dire  ex = x.  Par conséquent e est un élément unité de A.

Tipo de documento: Artículo - Article

Palabras clave: Anneaux, Arens-Kaplansky, anneaux réguliers





Source: http://www.bdigital.unal.edu.co


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Revista Volumen IDlE CARACTERISATION DES ANNEAUX par Constantino M.
de BARROS On montre que la classe des anneaux fortement reguliers introduits et etudies par Arens-Kapla~sky [1] corncide avec celle des anneaux dont le demi-groupe multiplicatif est inverse, done c01ncide avec celle des anneaux reguliers dont lensemble de leurs idempotents est commutatif. 1.
Soit A a lement unite te a un anneau.
Si droite e, alors gaucne.
En effet, soit a droite ments unites P soit P (x) e de a C U (A). d yP (x ) e possede un unique ee est aussi une unilensemble des ele- Ud(A) A.
Pour chaque lapplica tion de e ex - x e.
On a (a) P e(A) A A dans A e E Ud(A) telle E~1 e ffe t , pour tout , que yEA on y, = p la restriction de e a En effet, soient e , e-E p (e-) entratne Ud(A) est injective. Ud(A), alors Pe(e)= e ee-- e- ee done e e - .
D apres ee - e e mais ee Suppasons x E A sequent on a e e Ud(A) = , e, e (a) e, e est-a.-dire ex Pe(x) est un element unit~ de A. pour tout = x.
Par con- 1§MM§. 2. Soient dempotent de A un anneau et e un element i- A.
1es quatre conditions suivantes sont eguivalentes: A·, ( i ) e appartient au centre de ianneau ( ii) e commute avec tout autre element idempo- A·, tent de (iii) e est lelement unite du sous-anneau (iv) eA = Ae eAe • = Demonstration. Ae; (i) entratne (ii) en vertu de la de- finition du centre dun anneau. Pour montrer que (ii) entralne (iii), il suffit, dapres le §l, de montrer que , ment unite a droi te de tout x Ae E ment unite , .a x on a est lunique 81e- Ae. 11 est clair que, pour xe. Si e est un autre ele- - il serait idempotent, d - ou droi te , , = = ee = e. (iii) entralne xe = on a Ae eAe, d ye, ey (iv) car, pour tout = ex = exe, dou oil E eAe eA = dou ye --~,.,.
_-----,.,,-1 . COR011AlRE . de A. 3.
Si pour tout 0l e I(A) = Soit (eae - ea)2 y eA = ...





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