Small energy traveling waves for the Euler-Korteweg systemReport as inadecuate

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1 LJLL - Laboratoire Jacques-Louis Lions

Abstract : We investigate the existence and properties of traveling waves for the Euler-Korteweg system with general capillarity and pressure. Our main result is the existence in dimension two of waves with arbitrarily small energy. They are obtained as minimizers of a modified energy with fixed momentum. The proof builds upon various ideas developed for the Gross-Pitaevskii equation and more generally nonlinear Schrödinger equations with non zero limit at infinity. Even in the Schrödinger case, the fact that we work with the hydrodynamical variables and a general pressure law both brings new difficulties and some simplifications. Independently, in dimension one we prove that the criterion for the linear instability of traveling waves from 6 actually implies nonlinear instability.

Résumé : On étudie les ondes progressives des équations d-Euler-Korteweg pour des lois de capillarité et pression générales. Le principal résultat est l-existence en dimension 2 d-ondes d-énergie arbitrairement petite. Elles sont obtenues comme minimiseurs d-une énergie modifiée a moment fixé. La preuve suit plusieurs idées développées pour les équations de Schrödinger non linéaires avec limite non nulle à l-infini. Même dans ces cas, le fait de travailler en variables hydrodynamiques apporte de nouvelles difficultés, mais aussi quelques simplifications. Indépendamment, on montre en dimension un que le critère d-instabilité linéaire des ondes progressives de 6 implique en fait l-instabilité non linéaire.

Author: Corentin Audiard -



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