Optimisation de forme et application à lobservation et au contrôle déquations aux dérivées partiellesReport as inadecuate




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1 LJLL - Laboratoire Jacques-Louis Lions

Abstract : Les travaux pr\-esent\-es dans ce m\-emoire portent sur l-analyse math\-ematique de probl\`emes \`a la charni\`ere de l-optimisation de forme et du contr\^ole des \-equations aux d\-eriv\-ees partielles.La premi\`ere partie du manuscrit est consacr\-ee \`a l-\-etude de deux probl\`emes d-optimisation de forme en m\-ecanique des fluides. Le premier trouve sa motivation dans la mod\-elisation de l-arbre bronchique. On cherche \`a minimiser l-\-energie dissip\-ee par un fluide newtonien incompressible r\-egi par les \-equations de Navier-Stokes par rapport \`a la forme du conduit qu-il traverse. Nous prouvons la non-optimalit\-e du cylindre et \-etudions la question de l-existence de minimiseurs. Le second probl\`eme \-etudi\-e vise \`a d\-eterminer la forme optimale d-une ailette, un dispositif industriel utilis\-e pour amplifier les \-echanges de chaleur entre un \-el\-ement plan et un fluide ext\-erieur. En utilisant un mod\`ele simplifi\-e de conduction, nous prouvons un r\-esultat de non-existence et exhibons des suites maximisantes. Ces deux probl\`emes sont illustr\-es \`a l-aide de simulations num\-eriques.Dans la seconde partie du manuscrit, on cherche \`a positionner des capteurs et actionneurs de fa\c con optimale. Il s-agit de probl\`emes d-optimisation de forme pour l-\-equation des ondes, de Schr\-odinger, ou de la chaleur sur un domaine $\Omega$ en dimension quelconque, avec des conditions fronti\`eres s-il y a un bord de type Dirichlet, Neumann, mixtes, ou Robin. \-Etant donn\-e un \-etat initial, on peut observer la solution de l-\-equation sur un sous-ensemble $\omega$ de $\Omega$, ou bien la contr\^oler vers l-\-equilibre par exemple \`a l-aide de la m\-ethode HUM, ou encore la stabiliser par damping lin\-eaire avec un contr\^ole de support $\omega$. Dans les trois cas, on se pose la question de d\-eterminer quel est le ``meilleur- domaine possible $\omega$ parmi tous les sous-ensembles de $\Omega$ de mesure donn\-ee disons $L|\Omega|$ avec $0 < L < 1$. Ces questions sont d-abord \-etudi\-ees \`a donn\-ees initiales fix\-ees, puis ind\-ependamment des donn\-ees initiales : par exemple, on se pose le probl\`eme de maximiser la constante d-observabilit\-e parmi les domaines pr\-ec\-edents. Il s-av\`ere que ce probl\`eme est li\-e aux propri\-et\-es d-ergodicit\-e quantique du domaine $\Omega$, et notamment aux propri\-et\-es de type ``QUE- Quantum Unique Ergodicity.

en fr

Keywords : Stokes equations Navier quantum ergodicity PDE randomization shape optimization calculus of variation control of PDE wave-heat equation

Mots-clés : randomisation des EDP optimisation de forme ergodicité quantique calcul des variations équation de Navier-Stokes contrôle des EDP équation des ondes-de la chaleur





Author: Yannick Privat -

Source: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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