# en fr Shape optimization in the class of constant width bodies and of rotors Optimisation de forme dans la classe des corps de largeur constante et des rotors.

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1 LJLL - Laboratoire Jacques-Louis Lions

Abstract : In this dissertation, we study the minimization of a geometrical functional in dimension 2 and 3 under boundary constraints. In the second part, we study constant width bodies in dimension 2 and we prove the Blaschke-Lebesgue-s theorem by the optimal control theory Pontryagin maximum principle. In dimension 3, we study the problem of minimizing the volume in the class of constant width bodies which have an axis of revolution. By Pontryagin-s principle, we derive necessary conditions satisfied by a minimizer. In the third part, we study the problem of minimizing the area in the class of rotors. By Pontryagin-s principle, we show that the boundary of a minimizer is a finite union of arcs of circle whose radii have prescribed values. In the fourth part, we investigate optimal locality properties of the area for regular rotors under a certain type of perturbations. Thanks to Kuhn-Tucker-s theorem, we generalize a result of Firey in the case of rotors. We thus show that the regular rotors of the equilateral triangle are local maximizers of the area, whereas the rotors in a regular polygon with n>4 sides are saddle points. In the fifth part, we study the problem of minimizing the volume among constant width bodies in dimension 3. We present a complete analytic parametrization of the constant width bodies. We derive weak optimality conditions for a minimizer of the functional.

Résumé : Dans cette thèse, nous avons considéré des problèmes de minimisation de fonctionnelles relatives à des objets géométriques en dimension 2 et 3 sous contraintes de bord. Nous considérons d-abord le cas des corps de largeur constante en dimension 2 et nous redémontrons le théorème de Blaschke-Lebesgue par la théorie du contrôle optimal en utilisant le principe de Pontryagin. Nous étudions aussi le problème de la minimisation du volume dans la classe des corps de largeur constante en dimension 3 et à symétrie de révolution. Par le principe de Pontryagin, nous obtenons des conditions nécessaires sur un minimiseur. Nous étudions également le problème de minimisation de l-aire dans la classe des rotors d-un polygone à n côtés, ce qui constitue une généralisation du problème précédent. Par le principe de Pontryagin, nous démontrons qu-un minimiseur est une réunion finie d-arcs de cercles de rayon r i où les r i prennent des valeurs quantifiées. Nous étudions plus spécifiquement certaines propriétés des rotors réguliers en s-intéressant à leur optimalité locale pour la fonctionnelle d-aire, et pour un certain type de déformations admissibles. Par le théorème de Kuhn-Tucker, nous généralisons au cas des rotors un résultat de Firey en montrant que les rotors réguliers du triangle équilatéral sont des maxima locaux de l-aire, et que les rotors réguliers des polygones réguliers à n>4 côtés, sont des points selles de l-aire. Enfin, nous étudions le problème de minimisation du volume en dimension 3 dans la classe des corps de largeur constante. Nous introduisons d-abord un espace fonctionnel prenant en compte la contrainte de convexité et celle de largeur. Puis nous en déduisons des conditions d-optimalité faibles, vérifiées par le solide de Meissner, dont on conjecture depuis 1934 qu-il minimise le volume dans cette classe.

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Keywords : calculus of variation minimization underglobal constraints optimal control theory shape optimization constant width bodies convexity geometric curvature.

Mots-clés : courburegéométrique calcul des variations minimisation souscontraintes globales contrôle optimal optimisation de formes corps de largeur constante rotors convexité courburegéométrique.

Author: Térence Bayen -

Source: https://hal.archives-ouvertes.fr/