# en fr Integer values of polynomials Valeurs entières des polynômes

1 Institut fur Mathematik

Abstract : Let $fX$ be a polynomial with rational coefficients, $S$ be an infinite subset of the rational numbers and consider the image set $fS$. If $gX$ is a polynomial such that $fS=gS$ we say that $g$ \emph{parametrizes} the set $fS$. Besides the obvious solution $g=f$ we may want to impose some conditions on the polynomial $g$; for example, if $fS\subset\Z$ we wonder if there exists a polynomial with integer coefficients which parametrizes the set $fS$. Moreover, if the image set $fS$ is parametrized by a polynomial $g$, there comes the question whether there are any relations between the two polynomials $f$ and $g$. For example, if $h$ is a linear polynomial and if we set $g=f\circ h$, the polynomial $g$ obviously parametrizes the set $f\Q$. Conversely, if we have $f\Q=g\Q$ or even $f\Z=g\Z$ then by Hilbert-s irreducibility theorem there exists a linear polynomial $h$ such that $g=f\circ h$. Therefore, given a polynomial $g$ which parametrizes a set $fS$, for an infinite subset $S$ of the rational numbers, we wonder if there exists a polynomial $h$ such that $f=g\circ h$. Some theorems by Kubota give a positive answer under certain conditions. The aim of this thesis is the study of some aspects of these two problems related to the parametrization of image sets of polynomials.

Résumé : Soit un $fX$ un polynôme à coefficients rationnels, $S$ un ensemble infini du nombres rationnels. Soit $fS$ l- ensemble image de $fX$ sur $S$. Si $gX$ est un polynôme telle que $fS=gS$ on dit que $g$ parametrise l-ensemble $fS$. En plus de la solution $g=f$ on peut imposer autre conditions sur le polynôme $g$; par example, si $fS\subset\Z$, on peut se demander si il y a un polynôme à coefficients entiers que parametrise l-ensemble $fS$. De plus, si l-image $fS$ est parametrisé par un polynôme $g$, on peut demander si il y a de relations entre les polynômes $f$ et $g$. Par example, si $h$ est un polynôme linéaire et on pose $g=f\circ h$, évidemment le polynôme $g$ parametrise l-ensemble $f\Q$. Réciproquement, si nous avons que $f\Q=g\Q$ ou aussi $f\Z=g\Z$ alors par le théorème d-irréductibilité de Hilbert il y a un polynôme linéaire $h$ telle que $g=f\circ h$. Donc, si $g$ est un polynôme que parametrise l-ensemble $fS$, pour un ensemble infinie de nombres rationnels, nous nous demandons si il y a un polynôme $h$ telle que $f=g\circ h$. Il y a de théorèmes par Kubota que donnons de réponses positif sous certain conditions. Le but de ce thèse est l-étude de certain aspects de cet deux problèmes lié à la parametrisation de les ensembles image de polynômes.

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Keywords : Parametrization image set of polynomials

Mots-clés : Parametrisation ensemble image de polynôme

Author: Giulio Peruginelli -

Source: https://hal.archives-ouvertes.fr/