en fr P-adic modular forms over unitary Shimura curves and local-global compatibility Formes modulaires p-adiques sur les courbes de Shimura unitaires et compatibilité local-global Report as inadecuate




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1 LM-Orsay - Laboratoire de Mathématiques d-Orsay

Abstract : The subject of this thesis is in the p-adic Langlands programme. Let L be a finite extension of \Q p, ho L a 2-dimensional p-adic representation of the Galois group \Gal\overline{\Q p}-L of L, if ho L is the restriction of a global modular Galois representation ho i.e. ho appears in the étale cohomology of Shimura curves, one can associate to ho an admissible Banach representation \widehat{\Pi} ho of \GL 2L by using Emerton-s completed cohomology theory. Locally, if ho L is crystalline and sufficiently generic, following Breuil, one can associate to ho L a locally analytic representation \Pi ho L of \GL 2L. In this thesis, we prove results on the compatibility of \widehat{\Pi} ho and \Pi ho L, called local-global compatibility, in the unitary Shimura curves case. By locally analytic representations theory for \GL 2L, the problem of local-global compatibility can be reduced to the study of eigenvarieties X constructed from the completed H^1 of unitary Shimura curves. We prove results on local-global compatibility in non-critical case by using global triangulation theory. We also study the p-adic modular forms over unitary Shimura curves, from which we construct some closed rigid subspaces of X by Coleman-Mazur-s method. We prove the existence of overconvergent companion forms over unitary Shimura curves by using p-adic comparison theorems, from which we deduce some results on local-global compatibility in critical case.

Résumé : Cette thèse s-inscrit dans le cadre du programme de Langlands local p-adique. Soient L une extension finie de Q p, ho L une représentation p-adique de dimension 2 du groupe de Galois Gal\overline{Q p}-L de L, lorsque ho L provient d-une représentation ho globale et modulaire i.e. ho apparaît dans la cohomologie étale des courbes de Shimura, on sait associer à ho une représentation de Banach admissible de \GL 2L, notée \widehat{\Pi} ho, en utilisant la théorie de la cohomologie étale complétée d-Emerton. Localement, lorsque ho L est cristalline et assez générique, d-après Breuil, on sait associer à ho L une représentation localement analytique de \GL 2L, notée \Pi ho L. Dans cette thèse, on montre divers résultats sur la compatibilité entre les représentations \widehat{\Pi} ho et \Pi ho L, qui s-appelle la compatibilité local-global, dans la cas des courbes de Shimura unitaires. Par la théorie des représentations localement analytiques de \GL 2L, le problème de compatibilité local-global se ramène à l-étude des variétés de Hecke X construites à partir du H^1-complété des courbes de Shimura unitaires. On montre des résultats sur la compatibilité local-global dans le cas non-critique en utilisant la théorie de la triangulation globale. On étudie ainsi les formes modulaires p-adiques sur les courbes de Shimura unitaires, à partir desquelles on peut construire des sous-espaces rigides de X à la manière de Coleman-Mazur. On montre l-existence des formes compagnons surconvergentes sur les courbes de Shimura unitaires en utilisant les théorèmes de comparaison p-adique, d-où on déduit des résultats sur la compatibilité local-global dans le cas critique.

en fr

Keywords : P-adic modular form Overconvergent companion form P-adic family of Galois representations Eigenvariety Locally analytic representation Unitary Shimura curve Crystalline representation Completed étale cohomology P-adic Langlands programme Local-global compatibility

Mots-clés : Programme de Langlands p-adique Compatibilité local-global Cohomologie étale complétée \GL 2L Représentation cristalline Courbe de Shimura unitaire Représentation localement analytique Variété de Hecke Famille p-adique de représentations galoisiennes Forme modulaire p-adique Forme compagnon surconvergente





Author: Yiwen Ding -

Source: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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