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1 Laboratoire de Mathématiques d-Orsay

Abstract : This thesis is motivated by mathematical questions arising from micromagnetism. One would say that a central topic of this thesis is curl-free vector fields taking value into the sphere. Such fields naturally arise as minimizers of micromagnetic-type energies. The first part of this thesis is motivated by the following question : can we find a kinetic formulation caracterizing curl-free vector fields taking value into the sphere in dimension greater than 2 ? Such a formulation has been found in two dimension by Jabin, Otto and Perthame in \cite{Jabin Otto Perthame Line energy 2002}. De Lellis and Ignat used this formulation in \cite{DeLellis Ignat Regularizing 2014} to caracterize curl-free vector fields taking value into the sphere with a given regularity. The main result of this part is the generalization of their kinetic formulation in any dimension and the proof that if $d>2$, this formulation caracterizes only constant vector fields and vorteces, i. e. vector fields of the form $\pm \frac{x-P}{|x-P|}$. The second part of this thesis is devoted to a generalization of the notion of \textit{entropy}, which plays a key role in the article of De Lellis and Ignat we talked about above. We give a definition of entropy in any dimension, and prove properties quite similar to those enjoyed by the classical two-dimensional entropy. The third part of this thesis, which is the result of a joint work with Antonin Monteil, is about the study of an Aviles-Giga type energy. The main point of this part is a necessary condition for such an energy to be lower semi continuous. We give in particular an example of energy of this type for which the viscosity solution of the eikonal equation is \textit{not} a minimizer. The last part, finally is devoted to the study of a Ginzburg-Landau type energy where we replace the boundary condition of the classical Ginzburg-Landau energy introduced by Béthuel, Brezis and Helein by a penalization within the energy at the critical scaling depending on a parameter. The core result of this part is the description of the asymptotic of the minimal energy, which, depending on the parameter, favorizes vortices-like configuration like in the classical Ginzburg-Landau case, or configurations singular along a line.

Résumé : Cette thèse traite de questions mathématiques posées par des problèmes issus du micromagnétisme ; un thème central en est les champs de vecteur de rotationnel nul et de norme 1, qu-on voit naturellement apparaître comme configurations minimisant des énergies micromagnétiques.Le premier chapitre est motivé par la question suivante : peut-on, en dimension plus grande que deux, caractériser les champs de vecteur de rotationnel nul et de norme 1 par une formulation cinétique ?Une telle formulation a d-abord été introduite en dimension 2 dans l-article \cite{Jabin Otto Perthame Line energy 2002} de Jabin, Otto et Perthame où elle apparaît naturellement dans le cadre de la minimisation d-une énergie de type Ginzburg-Landau. Ignat et De Lellis ont ensuite montré dans \cite{DeLellis Ignat Regularizing 2014} qu-une telle formulation cinétique caractérise les champs de rotationnel nul et de norme 1 possédant une certaine régularité en dimension 2. Le premier chapitre de cette thèse est consacré à l-étude d-une formulation cinétique similaire en dimension quelconque ; le résultat principal en est qu-en dimension strictement plus grande que 2, cette fomulation cinétique ne caractérise non plus tous les champs de rotationnel nul et de norme 1, mais seulement les champs constants ou les vortex.La caractérsation cinétique des champs de vecteur de rotationnel nul et de norme 1 en dimension 2,prouvée par De Lellis et Ignat et que nous venons de mentionner reposait sur la notion d-entropie.Ayant obtenu une formulation cinétique en dimension quelconque, il était naturel de vouloir l-exploiter un tentant d-étendre également la notion d-entropie aux dimensions supérieures à 2. C-est ce à quoi est consacré le deuxième chapitre de cette thèse ; nous y définissons en particulier une notion d-entropie en dimension quelconque. Le point central en est la caractérisation de ces entropies par un système d-\équations aux dérivées partielles, et leur description complète en dimension 3, ainsi que la preuve pour ces entropies de propriétés tout à fait semblables à celles des entropies deux dimensionnelles.Le troisième chapitre de cette thèse, qui expose les résultats d-un travail en collaboration avec Antonin Monteil, s-intéresse à la minimisation d-\-energies de type Aviles-Giga de la forme $\mathcal{I} fm=\int {Jm}f|m^+-m^-|$ o\`u $m$ est un champ de rotationnel nul et de norme 1 et où $Jm$ désigne les lignes de saut de $m$. Deux questions classiques se posent pour ce type d-énergie : la solution de viscosité de l-équation eikonale est-elle un minimiseur et l-énergie est-elle semi-continue inférieurement pour une certaine topologie. Le résutat principal de cette partie est un construction, qui nous permet en particulier de répondre par la négative à ces deux questions dans les cas où $ft= t^p$ avec $p \in 0,1$ en donnant une condition nécessaire sur $f$ pour que $\mathcal{I} f$ soit semi-continue inférieurement.Enfin, le dernier chapitre de cette thèse est consacré à l-étude d-une variante de l-énergie de Ginzburg-Landau introduite par Béthuel, Brezis et Helein où on a remplacé la condition de bord par une pénalisation dépendant d-un paramètre. Nous y décrivons le comportement asymptotique de l-énergie minimale qui, suivant la valeur de ce paramètre, soit se comporte comme l-énergie de Ginzburg-Landau classique en privilégiant une configuration vortex, soit privilégie au contraire une configuration singulière suivant une ligne.

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Keywords : Line-energy Ginzburg-Landau energy Micromagnetism Kinetic equations

Mots-clés : Micromagnétisme Énergie de Ginzburg-Landau Énergie de ligne Équations cinétiques Entropies





Author: Pierre Bochard -

Source: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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