Sur quelques problèmes de lubrification par des fluides newtoniens non isothermes avec des conditions aux bords non linéaires. Etude mathématique et numériqueReport as inadecuate




Sur quelques problèmes de lubrification par des fluides newtoniens non isothermes avec des conditions aux bords non linéaires. Etude mathématique et numérique - Download this document for free, or read online. Document in PDF available to download.

1 Equipe d-Analyse Numérique

Abstract : In the first chapter of this thesis, we recall the basic principles of the continuous media its mechanics from which we deduce the equations modelling the nonisothermal flow of an incompressible Newtonian fluid. In the second chapter, we consider the stationary case in a thin domain and we add the boundary conditions of Tresca-s type on one part of the boundary of the domain. We deduce the corresponding variational problem which is strongly coupled, composed by a variational inequality and an equality, whose unknowns are the velocity field of the fluid, his pressure and its temperature. The principal difficulty is the presence in the variational equality of a term comprising the square of the deformation rate tensor, which does not make possible to give sense to the variational problem, if we search the velocity in $H^1$-convex. To overcome this difficulty, we search the $H^2$-regularity of the velocity, which requires the $\mathcalC^0,1$-regularity of the temperature, which is in the coefficients of the variational inequality. By using the Banach fixed point theorem, we show the existence, uniqueness and regularity of weak solution. The third chapter is devoted to the asymptotic analysis of this coupled variational problem in $\Om^\eps$. We estabilsh the $\eps$-estimates of the $H^1$-norm for the partial derivative of velocity and temperature, and of the $L^2$-norm for the partial derivative of the pressure. This enables us to obtain the strong limits. We then obtain the limit problem, the generalized Reynold equation and we prove the uniqueness of solutions to this limit problem. In the fourth chapter, we present an approximation of the limit problem by the finite elements methods, we study the convergence of the approximate solutions and we give the error estimates of the approximation. In the final chapter, we replace in preceding study the Tresca-s boundary condition by Coulomb-s and we obtain the similar results.

Résumé : Dans le premier chapitre de cette thèse, on rappelle les principes de base de la mécanique des milieux continus à partir desquels on déduit les équations modélisant l-écoulement non isotherme d-un fluide newtonien incompressible. Au deuxième chapitre, on considère le cas stationnaire dans un domaine mince et on rajoute les conditions aux limites dont une est de type Tresca sur une partie du bord du domaine. On déduit le problème variationnel correspondant qui est fortement couplé, composé d-une inéquation et une équation variationnelles, dont les inconnues sont le champ de vitesse du fluide, sa pression et sa température. La difficulté principale est la présence dans l-équation variationnelle d-un terme comportant le carré du tenseur des taux de déformation, qui ne permet pas de donner un sens au problème variationnel, si on cherche la vitesse dans un convexe de $H^1$. Pour lever cette difficulté, on cherche la régularité $H^2$ de la vitesse, qui nécessite la régularité $\mathcalC^0,1$ de la température, qui est dans les coefficients de l-inéquation variationnelle. En utilisant le théorème du point fixe de Banach, on montre l-existence, l-unicité et la régularité de la solution faible. Le troisième chapitre est consacré à l-analyse asymptotique de ce problème variationnel couplé dans $\Om^\eps$. On établit des estimations indépendantes de $\eps$ en norme $H^1$ pour les dérivées partielles de la vitesse et de la température, et en norme $L^2$ pour les dérivées partielles de la pression. Ce qui nous permet d-obtenir des limites fortes. On obtient alors le problème limite, l-équation de Reynolds généralisée et on montre l-unicité des solutions de ce problème limite. Au quatrième chapitre, on présente une approximation du problème limite par une méthode d-éléments finis, on étudie la convergence des solutions approchées et on donne les estimations d-erreur d-approximation. Au dernier chapitre, on remplace la condition aux limites de Tresca par celle de Coulomb dans l-étude précédent et on obtient des résultats similaires.

Mots-clés : méthode d-éléments finis fluide newtonien non isotherme conditions aux limites non linéaires film mince inéquation et équation variatinnelles régularité des solutions analyse asymptotique équation de Reynolds généralisée méthode d-éléments finis.





Author: Fouad Saidi -

Source: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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