en fr Limit theorems for U-statistics indexed by a random walk. Stochastic models of protein folding. Théorèmes limites fonctionnels pour des U-statistiques échantillonnéees par une marche aléatoire. Étude de modèles stochReport as inadecuate




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Abstract : This work is divided into two separate parts. We first study the asymptotic behavior of $U$-statistics indexed by a random walk. Let $S n n\geq 0$ be a $\Z^d-$random walk, with $d \geq 1$, and $\xi x x\in \\Z^d$ be a sequence of independent and identically distributed $\R$-valued random variables, independent of the random walk. Let $h$ be a measurable, symmetric function defined on $\R^2$ with values in $\R$. We focus on the weak convergence of the sequence $\cU n, n\in \N$, with values in $D0,1$ the set of right continuous real-valued functions with left limits, defined by $$\sum i,j=0^nth\xi S i,\xi S j, t\in0,1.$$ \\ Cabus et Guillotin studied the case when, $S n n \in \N$, is $\Z^d$-valued, with $d \geq 2$. We solve the case when $d=1$ and we give a new proof of the results by Cabus and Guillotin.\\ In the second part, we consider different protein folding dynamics. We focus on the asymptotic behavior of their hitting time. For each dynamics, we prove a law of large number, a central limit theorem and we compare the performance of the models.

Résumé : Cette thèse se décompose en deux parties indépendantes. Notre objectif dans la première partie est d-étudier le comportement asymptotique des $U$-statistiques, basées sur des noyaux d-ordre 2, échantillonnées par une marche aléatoire. Plus précisément, on se donne $S n n \in \N$ une marche aléatoire sur $\Z^d$, $d \geq 1$ et $\xi x x \in \Z^d$ une collection de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, indépendante de $S n n \in \N$. On note $\mu$ la loi de $\xi 0$ et l-on désigne par $h : \R^2 a \R$, une fonction mesurable, symétrique, telle que $h \in L^2\mu\otimes\mu$. On s-intéresse au comportement asymptotique de la suite de processus, $$ \cU nt=\sum i,j=0^nth\xi S i, \xi S j, \quad t\in0,1, \quad n=0,1,\ldots, $$ à valeurs dans $\cD0,1$, l-espace des fonctions c.à.l.à.g. définies sur $0,1$, muni de la topologie de Skorohod. Cabus et Guillotin ont obtenu la distribution asymptotique de ces objets, dans le cas où la marche aléatoire, $S n n \in \N$, est récurrente sur $\Z^2$, ainsi que dans le cas où elle est transiente sur $\Z^d$, pour $d\geq3$. Elles ont également conjecturé la forme de la distribution limite, dans le cas de la marche aléatoire simple, symétrique, sur $\Z$. Dans le cas où $\Sn$ appartient au domaine d-attraction d-une loi stable d-indice $1



Author: Véronique Ladret

Source: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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