en fr Random coverings and self-similar Markov processes Recouvrements Aléatoires et Processus de Markov Auto-Similaires Report as inadecuate




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1 LPMA - Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires

Abstract : This thesis is composed of two parts. The first deals with the construction of a random set which has the property of regeneration. Precisely, we construct random intervals from the partial records of a Poisson point process; these are used to partially cover $\mathbbR^+.$ The purpose of this work is to study the random set $\Rs$ that is left uncovered. We give integral tests to decide whether the random set $\Rs$ has a positive Lebesgue measure, has isolated points or if it is bounded. We show that $\Rs$ is, indeed, a regenerative set and characterize its law via the potential measure of the subordinator associated to $\Rs$. We obtain formulas to estimate some fractal dimensions of $\Rs.$ The second part consists of some contributions to the theory of positive self-similar Markov processes. To obtain the results of this part, we use Lamperti-s transformation which establishes a bijection between this class of processes and real-valued Lévy processes. Firstly, we are interested in the behavior at infinity of increasing self-similar Markov processes. In this vein, under some hypotheses, we find a deterministic function $f$ such that the liminf, as $t$ goes to infinity, of the quotient $X t-ft$ is finite and different from 0 with probability $1.$ We obtain an analogous result which determines the behavior near of 0 of the process $X$ started from 0. Secondly, we study the different ways to construct a positive self-similar Markov process $\widetildeX$ for which 0 is a regular and recurrent point. To this end, we give some conditions that enable us to ensure that a such process exists and to determine its resolvent. Next, we make a systematic study of the Itô excursion measure $\exc$ of the process $\widetildeX$. In particular, we give a description of $\exc$ similar to that of Imhof for Itô-s excursion measure of Brownian motion; we determine the law under $\exc$ of the normalized excursion and the image under time reversal of $\exc$. Furthermore, we construct and describe a process which is in weak duality with the process $\widetildeX.$ We obtain some estimations of tail probabilities of the law of an exponential functional of a Lévy process.

Résumé : Cette thèse comprend deux parties. La première traite de la construction d-un ensemble aléeatoire qui a la propriété de régénération. Plus précisement, on construit des intervalles aléatoires issus des maxima locaux d-un processus de Poisson ponctuel. Ceux-ci sont utilisés pour recouvrir partiellement la semi-droite des réels positifs et on s-intéresse alors à l-ensemble résiduel $\Rs,$ des points qui n-ont pas été recouverts. On donne des critères intégrales pour déterminer si l-ensemble $\Rs$ a une mesure de Lebesgue non nulle, si il est discret ou encore si il est borné. On montre que l-ensemble $\Rs$ est régenératif et on caractérise le subordinateur associé via sa mesure potentiel. On donne des formules pour calculer quelques dimensions fractales pour $\Rs.$ La deuxième partie est constituée de quelques contributions à la théorie des processus de Markov auto-similaires positifs. Pour obtenir les résultats de cette partie on utilise amplement la transformation de Lamperti qui permet de rélier les processus de Markov auto-similaires positif aux processus de Lévy à valeurs dans $ e.$ On s- interesse d-abord, au comportement à l-infini d-un processus de Markov auto-similaire croissant. On détermine, sous certaines hypothèses, une fonction déterministe $f$ telle que la limite inférieure, lorsque $t$ tend vers l-infini, du quotient $X t-ft$ est finie et non nulle avec probabilité $1.$ Un résultat analogue est obtenu pour déterminer le comportement près de 0 du processus $X$ issu de 0. Ensuite, on étudie les différentes manières de construire un processus de Markov auto-similaire $\widetildeX$ pour lequel 0 est un point régulier et récurrent. En premier lieu, on donne des conditions qui nous permettent d-assurer qu-un tel processus existe et d-expliciter sa résolvante. En second lieu, on fait une étude systématique de la mesure d-excursions d-Itô $\exc$ pour le processus $\widetildeX$. On donne en particulier une description à la Imhof de $\exc,$ on determine la loi sous $\exc$ de l-excursion normalisée et l-image sous retournement de temps de $\exc$. De plus, on construit et on décrit un processus qui est en dualité faible avec le processus $\widetildeX.$ On obtient diverses estimations de la queue de probabilité de la loi d-une variable aléatoire fonctionnelle exponentielle d-un processus de Lévy.

en fr

Keywords : Regenerative sets Subordinators Self-similar Markov processes Lamperti-s transformation real-valued Lévy processes Exponential functionals of Lévy processes Excursion theory of Markov processes.

Mots-clés : Théorie d-excursions pour les processus de Markov Ensembles régénératifs Subordinateurs Processus de Markov auto-similaires Transformation de Lamperti Processus de Lévy à valeurs réels Fonctionelles exponentielles des processus de Lévy Théorie d-excursions pour les processus de Markov.





Author: Victor Rivero Mercado -

Source: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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