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1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

Abstract : The framework of this study is a closed manifold of dimension at least six that is provided with a nonzero De Rham cohomology class. The aim is to create tools to address the next problem: two closed non-singular without zeroes 1-forms in the fixed class are always isotopic? The general answer to the question is no, and a K-theoretical obstruction is expected. It is always possible to connect two non-singular closed 1-forms by a path that remains in the cohomology class; the isotopy of the two ends of the path is equivalent to find a relative homotopy of the path to another one made of non-singular 1-forms only. We introduce two kinds of pseudo-gradients for each positive number L: those with an L-elementary link and those that we call L-transverse. They form a class of vector fields adapted to the 1-forms that allows to do an algebraic reading associated with the path. This reading is similar to that made in the theory of Hatcher-Wagoner who treated the isotopy problem of real-valued functions without critical points. We manage to find L, a number large enough to deform a path of 1-forms with only two critical indices into another one with an L-transverse equipment in normal form. The zeroes of such a path that are born together, die together and moreover, the associated Cerf-Novikov graphic is closed : the cited algebraic reading belongs to some K 2, which is the starting point for the definition of an obstruction for two non-singular closed 1-forms to be isotopic.

Résumé : Le cadre de cette étude est une variété fermée de dimension au moins six qui est munie d-une classe de cohomologie de De Rham non-nulle. L-objectif de la thèse est de créer des outils pour répondre au problème de savoir si deux 1-formes fermées non-singulières sans zéro dans la classe fixée sont toujours isotopes. La réponse générale à la question est non, et une obstruction de type K-théorique est attendue. Il est toujours possible de relier deux 1-formes fermées non singulières par un chemin qui reste dans la classe de cohomologie ; l-isotopie des extrêmes du chemin équivaut à déformer le chemin par une homotopie relative en un autre constitué de 1-formes non-singulières. On introduit deux sortes de pseudo-gradients pour chaque nombre L positif : ceux avec une liaison L-élémentaire et ceux que nous appelons L-transverses. Ils forment une classe de champs de vecteurs adaptés aux 1-formes qui permettent de faire une lecture algébrique associée au chemin. Cette lecture est analogue à celle qui est faite dans la théorie de Hatcher-Wagoner qui traitait le problème d-isotopie pour les fonctions à valeurs réelles sans point critique. On réussit à trouver un nombre L assez grand pour déformer un chemin de 1-formes à deux indices critiques en un autre chemin muni d-un équipement L-transverse qui est sous forme normale. Les zéros d-un tel chemin de 1-formes qui sont nés ensemble, s-éliminent ensemble et de plus le graphique de Cerf-Novikov associé se ferme : la lecture algébrique citée appartient à un certain K 2, ce qui est au point de départ de la définition d-une obstruction à l-isotopie des 1-formes fermées non-singulières.

en fr

Keywords : closed 1-form pseudo-isotopy adapted pseudo-gradient transversality handle slide Cerf-s graphic algebraic K-theory Morse-Novikov complex

Mots-clés : 1-forme fermée pseudo-isotopie pseudo-gradient adapté transversalité glissement d-anse graphique de Cerf K-théorie algébrique complexe de Morse-Novikov





Author: Carlos Moraga Ferrandiz -

Source: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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