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1 CERMICS - Centre d-Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique

Abstract : Human epidemics are an important problem of public health in the world. Mathematical modelling is part of the instruments to fight them. The thesis «Optimization and viable control of epidemiological models of dengue» deals with the case of the dengue, an endemic disease in Colombia. The document is organized in two parts, a more theoretical Part I, and a Part II centered on applications. In Part I, the dynamics of propagation of an infectious vector-borne disease such as dengue, transmitted by mosquitoes is represented by systems of differential equations, connecting populations of individuals and vectors. We consider the epidemic model of Ross-Macdonald, and an endemic model of SIR-SI type. After the stability analysis of these dynamical models, this work brings forward two original theoretical contributions. The study of the transitory behavior deals with the control of an epidemic episode in its acute phase, before its possible asymptotic extinction. We look, by playing on the variable of control that is the mortality of the vector, to maintain human infected proportion state under a given threshold for all times viability constraint. By definition, the viability kernel is the set of all initial states for which there is at least a trajectory of controls which allows to satisfy the viability constraint. Our main contribution is a complete description of the kernel. We discuss possible viable controls, whose application guarantees the satisfaction of the constraint. Then, we analyze two problems of optimal control. First problem is concerned with handling of an epidemic outbreak over a short timescale. Second one deals with an endemic infectious disease over a longer scale, where births and deaths within both populations human and vector are taken into account. We determine the necessary conditions of existence of an optimal solution by using the maximum principle of Pontryagin. We also tackle the case of resources limited over the time span. In part II, we apply the theoretical approaches of part I to the management of episodes of dengue in the city of Santiago of Cali. We estimate the parameters of the models by least squares, with the data supplied by the Program of epidemiological vigilance of the Municipal Secretariat of Public Health. We calculate numerically the viability kernel, fitted to the data observed during the epidemic episodes of 2010 and 2013.As for optimal control, we use the traditional forward-backward sweep algorithm, and compare several alternatives for the chemical control of the mosquito. The best strategy is a combination of spraying of an insecticide of low lethality, together with implementation of protective measures, which moderately reduce the biting rate of the mosquitos. Finally, we tackle the problem of dynamic control of the dengue under uncertainty. We develop a Ross-Macdonald model at discrete time with uncertainties. The robust viability kernel is the set of all initial states such as there is at least a strategy of insecticide spraying which guarantees that the number of infected people remains below a threshold, for all times, and whatever the uncertainties. Under proper assumptions on the set of scenarios of uncertainties corresponding to temporal independence, an equation of dynamic programming allows to numerically calculate kernels. Having chosen three nested subsets of uncertainties a deterministic one without uncertainty, a medium one and a large one we can measure the incidence of the uncertainties on the size of the kernel, in particular on its reduction with respect to the deterministic case without uncertainty

Résumé : Les épidémies humaines sont un problème important de santé publique dans le monde. La modélisation mathématique fait partie de la panoplie des instruments pour les combattre. La thèse -Optimisation et contrôle viable de modèles épidémiologiques de dengue- se penche sur le cas de la dengue, une maladie endémique en Colombie. Le document de thèse est organisé en deux grandes parties, une partie I plus théorique et une partie II plus appliquée. Dans la partie I théorique, la dynamique de propagation d’une maladie infectieuse transmise par vecteur comme la dengue, par moustiques est représentée par des systèmes d-équations différentielles, reliant populations d-individus et de vecteurs. Nous considérons le modèle épidémique de Ross-Macdonald et le modèle endémique SIR SI. Après l-analyse quantitative de ces modèles, ce travail de thèse comporte deux contributions théoriques originales. L’étude du comportement transitoire traite du contrôle d-un épisode épidémique dans sa phase aiguë, avant son éventuelle extinction asymptotique. Nous cherchons, en jouant sur la variable de contrôle qu-est la mortalité du vecteur, à maintenir la proportion d-humains infectés état sous un seuil donné pour tous les temps contrainte de viabilité. Par définition, le noyau de viabilité est l-ensemble des états initiaux pour lesquels il existe au moins une trajectoire de contrôles qui permette de satisfaire la contrainte de viabilité. Notre principale contribution est une description complète du noyau. Nous discutons de possibles contrôles viables, dont l-application garantit la satisfaction de la contrainte. Ensuite, nous analysons deux problèmes de contrôle optimal. L’un est la gestion d-un épisode épidémique à une échelle de temps courte. L’autre traite d-une maladie infectieuse endémique à une échelle plus longue où sont prises en complètes naissances et les morts des populations humains et vecteurs.Nous déterminons les conditions nécessaires d-existence d-une solution optimale en utilisant le principe du maximum de Pontryagin. Nous abordons aussi l-analyse du cas de ressources limitées dans le temps. Dans la partie II, nous appliquons les approches de la partie I théorique à la gestion d-épisodes de dengue dans la ville de Santiago de Cali. Nous estimons les paramètres des modèles par moindres carrés, avec les données fournies par le Programme de vigilance épidémiologique du Secrétariat municipal de santé. Nous calculons numériquement le noyau de viabilité ajusté aux données observées durant les épisodes épidémiques de 2010 et 2013.Pour ce qui est du contrôle optimal, nous utilisons l-algorithme traditionnel de balayage avant et arrière, et comparons plusieurs alternatives pour le contrôle chimique du moustique. La meilleure stratégie est une combinaison d-aspersion d-un insecticide de faible létalité et d-implémentation de mesures de protection qui réduisent modérément le taux de piqûre du moustique. Enfin, nous abordons le problème de contrôle dynamique de la dengue sous incertitude. Nous développons un modèle de type Ross-Macdonald en temps discret avec incertitudes. Le noyau robuste de viabilité est l-ensemble des états initiaux tels qu-il existe au moins une stratégie d-aspersion d’insecticide qui garantisse que le nombre de personnes infectées se maintienne au-dessous d-un seuil, pour tous les temps, et ce quelles que soient les incertitudes. Sous des hypothèses appropriées sur l-ensemble des scénarios d-incertitudescorrespondant à l-indépendance temporelle, une équation de programmation dynamique permet de calculer numériquement des noyaux. Après avoir choisi trois ensembles d-incertitudes emboîtés, un déterministe sans incertitude, un moyen et un grand, nous pouvons mesurer l-incidence des incertitudes sur la taille du noyau, notamment sur sa réduction par rapport au cas déterministe sans incertitude

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Keywords : Viability theory Epidemiologic models Optimization

Mots-clés : Modèles épidémiologiques Optimisation Théorie de la viabilité





Author: Lilian Sofia Sepulveda -

Source: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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