en fr Cohomology of GL 2Zi,1-2 with coefficients in F 2 Cohomologie de GL 2Zi,1-2 à coefficients dans F 2 Report as inadecuate




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1 IRMA - Institut de Recherche Mathématique Avancée

Abstract : The aim of this Phd thesis was to compute H*BGL 2Zi,1-2,F 2. This cohomology ring appears in a certain version of the conjecture of Lichtenbaum and Quillen, asserting that the cohomology modulo 2 of the classifying space of a general linear group over Z1-2 should be detected by the cohomology of its subgroup of diagonal matrices.The original idea was to show that this conjecture fails in the special case of the general linear group of rank 4 over Z1-2, and the cohomology of BGL 2Zi,1-2 should have been the main argument. By computing H*BGL 2Zi,1-2,F 2, we proved that the conjecture is true in the case of GL 2Zi,1-2.The calculation of H*BGL 2Zi,1-2,F 2 depends on the analysis of a certain space Z on which PSL 2Zi acts in a good way, and the as well as on calculation of H*BPSL 2Zi,F 2 and H*BGo,F 2 where Go is a suitable subgroup of PSL 2Zi such that PSL 2Zi,1-2 is isomorphic to the amalgamated sum PSL 2Zi* Go PSL 2Zi. One obtains H*BGL 2Zi,1-2,F 2 by studying some morphisms from H*BPSL 2Zi,F 2 to H*BGo,F 2 and some spectral sequences.

Résumé : Le point de départ de cette thèse est une version instable de la conjecture de Lichtenbaum et Quillen qui dit que la cohomologie modulo 2 du classifiant des groupes linéaires définis sur Z1-2 serait détectée par la cohomologie du classifiant du sous-groupe des matrices diagonales de ces groupes linéaires. On sait que la conjecture est vraie pour n=1, 2 et 3, mais qu-elle est fausse à partir de n=14. On peut montrer que si la conjecture est vraie pour n=4, alors nécessairement, il existe un certain carré cartésien en cohomologie à coefficients dans F 2 dans lequel apparaît le classifiant du groupe GL 2Zi,1-2. L-espoir initial, motivé par des idées de Henn et Lannes, était que la cohomologie à coefficients dans F 2 de BGL 2Zi,1-2 rendrait ce carré non cartésien, invalidant de ce fait la conjecture de Lichtenbaum et Quillen dès n=4.Nous avons calculé la cohomologie à coefficients dans F 2 de BGL 2Zi,1-2 et montré que le carré cartésien sus-nommé est bien cartésien.La conjecture a ainsi passé un test avec succès et a encore des chances d-être vraie pour n=4. En tout cas, la recherche d-un contre-exemple est plus délicate qu-on aurait pu l-espérer.Les moyens utilisés pour effectuer le calcul de H*BGL 2Zi,1-2,F 2 ont été la construction d-un certain espace Z sur lequel le groupe PSL 2Zi agit avec de bonnes propriétés, et le calcul de H*BPSL 2Zi,F 2 et H*BGo,F 2 où Go est un certain sous-groupe de PSL 2Zi tel qu-on ai la décomposition en somme amalgamée PSL 2Zi,1-2=PSL 2Zi* Go PSL 2Zi. On obtient ensuite H*BGL 2Zi,1-2,F 2 en étudiant certains morphismes de H*BPSL 2Zi,F 2 vers H*BGo,F 2 et plusieurs suites spectrales.

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Keywords : 11F75 20J06 55T10 55N25 Lichtenbaum-Quillen conjecture gaussian lattices Iwahori subgroup equivariant cohomology cohomology of general linear groupscohomology of arithmetic groups

Mots-clés : Conjecture de Lichtenbaum et Quillen Réseaux gaussiens Sous-groupe d-Iwahori Cohomologie équivariante Cohomologie des groupes linéairesCohomologie des groupes arithmétiques





Author: Nicolas Weiss -

Source: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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