en fr Nonlinear transport models in heterogeneous porous media Modèles non linéaires de transport dans un milieu poreux hétérogène Report as inadecuate




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1 LMAP - Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications Pau

Abstract : This thesis deals with the mathematical analysis of some scalar conversation laws with space-discontinuous fluxes. We are interested in the coupling problem along a same interface of two first order quasilinear hyperbolic equations, set in two open disjoint domains. In a first part we consider a coupled hyperbolic-hyperbolic problem . Under a non degeneracy condition on the flux, we obtain an existence and uniqueness result of the weak entropy solution, first in one space dimension and then in the multidimensional case. The uniqueness proof is based on the method of doubling ariables and on a pointwise reasoning along the interface. In the monodimension, the existence is obtained by a suitable regularization of the discontinuous coefficient in the convective term, while we use the vanishingviscosity method in several space dimensions.In a second part, we treat the case of convection terms arising in petroleum engineering. The non degenaracy condition is not fulfilled anymore in this case so we cannot adapt the method used previously. Therefore we are interested in a perturbed coupled problem where in one of the two domains a diffusion term appears. Under the assumption that the interface is included in the set of outwards caracteristics of the first-order operator set in the hyperbolic zone, the uniqueness of a weak entropy solution is established. The vanishing viscosity method and the notion of process solution allow us to state the existence property.

Résumé : Cette thèse a pour objet l-analyse mathématique de lois de conservation scalaires dont la fonction flux présente une discontinuité par rapport à la variable d-espace. Nous nous intéressons plus particulèrement au problème du raccord le long d-une interface commune des solutions de deux équations quasi linéaires hyperboliques du premier ordre, posées dans deux ouverts disjoints. En premier lieu nous considérons un problème couplé hyperbolique-hyperbolique. Sous une condition de non dégénérescence du flux, nous avons obtenu un résultat d-existence et d-unicité d-une solution faible entropique d-abord en dimension 1 d-espace puis en dimension quelconque. La preuve de l-unicité est basée sur la méthode de dédoublement des variables due à S.N. Kruzkov puis sur un raisonnement presque partout à l-interface. Dans le cas particulier de la dimension 1 l-existence s-obtient par une régularisation adéquate du coefficient discontinu dans le terme de convection alors que nous utilisons la méthode de viscosité artificielle dans le cas général. En second lieu nous traitons le cas de termes de convection qui apparaissent dans l-ingénierie pétrolière pour lesquels la condition de non dégénérescence de la non linéarité n-est pas vérifiée. Nous ne pouvons donc pas adapter les méthodes précédemment utilisées. Nous nous sommes donc intéressés à un problème couplé perturbé où sur l-un des deux ouverts un terme de diffusion est ajouté. Sous l-hypothèse que les caractéristiques provenant de la zone hyperbolique sont sortantes à l-interface, l-unicité d-une solution faible entropique est établie. La méthode de viscosité artificielle et la notion de processus entropique nous permettent de prouver le résultat d-existence .

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Keywords : conversation laws discontinous flux weak entropy solution hyperbolic equation parabolic equation vanishing viscosity method method of doubling variable.

Mots-clés : méthode de dédoublement des variables lois de conservation flux discontinu solution faible entropique équation hyperbolique équation parabolique méthode de viscosité artificielle méthode de dédoublement des variables.





Author: Julien Jimenez -

Source: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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