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1 ICJ - Institut Camille Jordan Villeurbanne

Abstract : We associate to each foliated Morse function f on a measured foliation a longitudinal complex which computes the longitudinal cohomology introduced by A. Connes, as we prove. The q index space of this complex is given by the field $E^q=l^2C^q \cap L L$ , where C^q denotes the manifold of the q index longitudinal critical points of the generalized Morse function, and where L is a generic leaf. The differential $\delta^q:E^q ightarrow E^{q+1}$ is defined by studying how the orientation of the unstable manifold is carried along a trajectory linking to a q index critical point and a q+1 index critical point. To prove that this complex computes the longitudinal cohomology, we show that it can be seen as the limit, when $\tau ightarrow \infty$, of a foliated complex $W^q {\tau,L},d^q {\tau,L}$ considered by A. Connes and T. Fack.This extends to the foliated case a result of \emph{B. Helffer} et \emph{J. Sjörstrand}.

Résumé : A toute fonction de Morse généralisée f sur un feuilletage mesuré, nous associons un complexe longitudinal dont nous montrons qu-il calcule la cohomologie longitudinale introduite par A. Connes. L-espace d-indice q de ce complexe est donné par le champ d-espaces $E^q=l^2C^q \cap L L$ , où C^q est la variété des points critiques longitudinaux d-indice q de f, et où L désigne la feuille générique . Les différentielles $\delta^q:E^q ightarrow E^{q+1}$ expriment comment l-orientation de la variété instable se transporte le long d-une trajectoire du champ de gradient feuilleté reliant un point critique d-indice q à un point critique d-indice q+1. Pour montrer que ce complexe calcule la cohomologie longitudinale, nous l-identifions au complexe obtenu comme limite, lorsque tau tend vers l-infini, du complexe feuilleté $W^q {\tau,L},d^q {\tau,L}$ considéré par A. Connes et T. Fack. Ce travail étend au cas des feuilletages celui de B. Helffer et J. Sjörstrand.

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Keywords : Cohomology measured foliation De Rham-s complex Witten-s complex oriented complex

Mots-clés : Cohomologie feuilletage mesuré complexe de De Rham complexe de Witten complexe d-orientation





Author: Christophe Jaloux -

Source: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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