en fr Efficient numerical methods for pricing GMWB contracts Méthodes numériques e fficaces pour la valorisation des GMWB Report as inadecuate




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1 CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées - Ecole Polytechnique

Abstract : This thesis deals with the problem of pricing GMWB contracts by efficient numerical methods using closed formulas or Monte Carlo method under the constraint of few simulations. GMWB products are highly complex products that have in recent years experienced a great success due to the guarantee given to the insured people on future withdrawals with an upside effect depending on the performance of the underlying fund contract. In addition, the subscriber has many attractive options that can be exercised at any time such as the option to lapse partially or totally his contract, the possibility of fund switching during the policy life and lastly the option to advance or postpone the withdrawal date. However, such options combined with the complexity of the product, the market risk and the mortality risk expose the insurer who should manage a lot of contracts under several operational constraints computational time, few simulations, etc

to a major challenge in terms of valuation and hedging. A large part of this thesis Chapters 2, 4, 5 and 6 study the partial and total surrender option in the GMWB contracts from two points of view: the rational client and the hedger worst case. In this regard, in our general discrete time framework with a local volatility and Hull-White interest rates models, the optimal strategy determining the contract cost is in both cases the solution to an optimal stochastic control problem in discrete time. However, thanks to partial homogeneity property of prices and flows, we show that the strategy is Bang-Bang, hence explicit. Thus, the valuation problem is reduced to an optimal stopping problem, we propose a Monte Carlo method using Longstaff-Schwartz methodology whose empirical regression step was treated by the standard least squares method as well as a new method called VCP preliminary control variates. The latter consists first to reduce the empirical variance of the flows to regress through an L2 projection on adapted and centered control variates, then to perform the standard least square regression methods on the new flows with reduced variance. A numerical study and a theoretical error analysis based on distribution-free nonparametric regression techniques confirme the VCP method efficiency in the context of few simulations. Chapter 3 gathers mathematical and numerical justifications of the hypothesis considering mortality risk as diversifiable. We achieve this in a simple American exercise style product sensitive to mortality risk. Finally, the last part Chapter 7 is devoted to pricing GMWB contracts by closed analytical approximations in a Black Scholes model with Hull-White interest rates. By performing an asymptotic expansion on the amount of withdrawals, we obtain approximation price formulas as a Black-Scholes price plus a sum of explicit Greeks, faster to evaluate. Error estimates are provided when the payoff function is regular. The accuracy of the asymptotic formulas is experienced numerically and it shows a good behavior even for long maturity contracts 20 years.

Résumé : Cette thèse traite du problème de valorisation par des méthodes numériques efficaces de contrats GMWB dans une optique de calcul par formules fermées ou par méthode de Monte Carlo sous contrainte de faible nombre de simulations. Les produits GMWB sont des produits très complexes qui ont connu ces dernières années un grand succès de par la garantie dont bénéficie l-assuré sur les retraits futurs avec un effet upside dépendant de la performance du fond sous-jacent au contrat. En outre, le souscripteur dispose de nombreuses options attrayantes qu-il peut exercer à tout moment dont l-option de racheter partiellement ou totalement son contrat, la possibilité de modifier l-allocation de la prime payée fund switching pendant la durée du contrat et enfin l-option d-avancer ou de reporter la date de début des paiements. Cependant, de telles options cumulées avec la complexité du produit et les risques de marché et de mortalité exposent l-assureur qui doit gérer des dizaines de milliers de contrats sous plusieurs contraintes opérationnelles temps de calcul,faible nombre de simulation, etc. à une difficulté majeure en terme de valorisation et de couverture. Une grande partie de cette thèse chapitres de 2, 4, 5 et 6 est consacrée à l-étude de l-option de rachat partiel ou total dans les contrats GMWB selon deux angles : le point de vue assuré rationnel et le point de vue couvreur appréhendant le pire cas. A ce propos, dans notre cadre général en temps discret avec une volatilité locale et taux d-intérêt à la Hull-White 1 facteur, la stratégie optimale déterminant le coût du contrat dans les deux cas est la solution d-un problème de contrôle stochastique optimal en temps discret. Néanmoins, grâce à une propriété d-homogénéité partielle sur le prix et les flux, on démontre qu-elle est explicite et de type Bang-Bang. Le problème de valorisation étant ainsi ramené à celui d-arrêt optimal , nous avons proposé une méthode de Monte Carlo de type Longstaff Schwartz dont l-étape de régression empirique a été traitée par la méthode de moindres carrés habituels et par une nouvelle méthode appelée VCP Variables de contrôle préliminaires. Cette dernière consiste dans un premier temps à réduire la variance empirique des flux à régresser à travers une projection L2 sur des variables de contrôle adaptées et centrées, et puis à faire la régression par moindres carrées habituels sur les nouveaux flux à variance réduite. Une étude numérique sur un cas test ainsi qu-une quantification théorique de l-erreur par les techniques de régression non paramétriques ont conclu à son efficacité dans un contexte de faible nombre de simulation contrainte d-Axa. Quant au chapitre 3, il est consacré à justifier numériquement et théoriquement l-hypothèse de mutualisation du risque de mortalité souvent supposée par les praticiens dans le cas américain sur un produit simple sensible à ce risque. Enfin, la dernière partie de la thèse chapitre 7 est consacrée à la valorisation par formules fermées approchées pour des contrats GMWB simplifiés dans un modèle Black Scholes avec taux d-intérêt de dynamique Hull-White à 1 facteur. En effectuant un développement asymptotique sur le montant des retraits, on obtient des formules approchées du prix du contrat GMWB par un prix Black-Scholes corrigé par une somme explicite de Grecques, le tout étant plus rapide à évaluer. Des estimations d-erreur sont établies lorsque la fonction payoff est régulière. La précision des formules asymptotiques est testée numériquement et montre un excellent comportement de ces approximations, même pour des contrats à longue maturité 20 ans.

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Mots-clés : développement asymptotique Régression empirique Méthodes de Monte Carlo

keyword : Monte Carlo methods empirical regression expansion





Author: Tarik Ben Zineb -

Source: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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