# en fr A Partial Differential Equations-based Approach for the 1D and 2D Empirical Mode Decomposition, and AM-FM Models for Signal and Image Analysis Modèles AM-FM et Approche par Équations aux Dérivées Partielles de la Décom

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1 IRENAV - Institut de Recherche de l-Ecole Navale EA 3634

Abstract : This work is addressed to signal and image analysis based on the empirical mode decomposition EMD and AM-FM models. In the first part of the thesis, a theoretical study of the 1D and 2D EMD is proposed. To do that, upper and lower envelopes are locally modeled with continuous operators. The local mean of envelopes is then computed in a more convenient way, such that the 1D and 2D sifting iterations are now well approximated by the resolutions of well posed partial differential equations PDE. In addition, we provide theoretical justifications and carry out analytical characterizations of 1D and 2D empirical modes. This theoretical work enlightens important aspects of the EMD that were stated only in an intuitive way or based on controlled numerical simulations. In that way, we provide mathematical contributions on the method, which is originally defined just as an algorithm, and for which the main criticism remains the lack of a theoretical framework. Finally, new EMD algorithms are proposed and associated PDE are numerically solved, both in 1D and 2D. Our PDE-based approaches are illustrated with various signal and image examples. The second part deals with AM-FM image modeling. AM-FM models decompose images into components. In one hand, we have the local texture contrast AM. On the other, we have the image geometry FM. We first propose some improvements in wideband image demodulation techniques. Secondly, image demodulation based on 2D higher order differential energy operators 2D HODEO are explored and better image demodulation algorithms are introduced. A practical application to sonar images- segmentation is also proposed. Our approaches are illustrated with various images and results are compared to the DESA Discrete Energy Separation Algorithm and the analytical image-based approach.

Résumé : Le travail de thèse traite de l-analyse des signaux et des images par décomposition modale empirique EMD et par modèles AM-FM. Dans la première partie de cette thèse, nous apportons des cadres théoriques à l-EMD 1D et 2D. Nous approchons localement les enveloppes supérieures et inférieures, dans le processus de tamisage de l-EMD, par des opérateurs continus. Par suite, nous formulons différemment la moyenne locale et prouvons que les itérations du tamisage 1D et 2D peuvent être approchées par des équations aux dérivées partielles EDP bien posées. Nous apportons des justifications théoriques et proposons des caractérisations analytiques des modes empiriques 1D et 2D. Ce travail a permis d-éclaircir de nombreux points et notions relatifs à l-EMD, et définis en 1D comme en 2D, que de manière très intuitive ou sur la base de simulations numériques contrôlées. Nous apportons de la sorte des contributions théoriques à l-EMD 1D et 2D, initialement définie par un algorithme et dont la principale limite est le manque de cadre théorique. Enfin, nous proposons de nouveaux algorithmes EMD 1D et 2D, et résolvons numériquement les EDP proposées en 1D et 2D. Nous illustrons nos approches par EDP sur de nombreux signaux et images. Dans la seconde partie, nous étudions les modèles AM-FM pour l-analyse d-images. Ces modèles se basent sur une décomposition des images en composantes regroupant les niveaux de gris des parties texturées AM, d-une part, et une partie contenant la géométrie de l-image FM, d-autre part. Nous proposons d-abord une amélioration de la démodulation d-images large bande. Dans un deuxième temps, nous explorons la démodulation d-images avec les opérateurs de Teager-Kaiser d-ordres supérieurs HODEO 2D, en proposant de meilleurs algorithmes de démodulation, basés sur les HODEO 2D. Nous proposons ensuite une application à la segmentation d-images sonar et illustrons nos approches sur de nombreuses images. Les résultats sont comparés à ceux obtenus avec l-algorithme DESA Discrete Energy Separation Algorithm et l-approche par image analytique.

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Keywords : Empirical Mode Decomposition partial differential equations harmonic analysis Laplacian operator amplitude modulation frequency modulation Teager-Kaiser energy operators Hilbert transform.

Mots-clés : Décomposition modale empirique équations aux dérivées partielles analyse harmonique Laplacien modulation d-amplitude modulation de fréquence opérateurs de Teager-Kaiser transformée de Hilbert.

Author: El Hadji Samba Diop -

Source: https://hal.archives-ouvertes.fr/